Андрей Кулаев родился 20 мая 1971 года в городе Иваново. Окончил Смоленский филиал Московского энергетического института по специальности «Автоматизация теплотехнических процессов и производств», Всероссийский заочный финансово-экономический институт по специальности «Финансы и кредит», а также Академию народного хозяйства при Правительстве РФ по специальности «Менеджмент», квалификация «Мастер делового администрирования (MBA)».
С 1994 года Андрей Кулаев работает в энергетике. В период с 1994 по 2009 годы был начальником смены котлотурбинного цеха, начальником производственно-технического отдела и заместителем технического директора Смоленской ТЭЦ-2. В 2009-2013 годах занимал должности директора по сбыту, заместителя директора по сбыту филиала ПАО «Квадра» – «Западная генерация» и заместителя генерального директора по сбыту ООО «Смоленская ТСК». С 2013 года он возглавляет ООО «Смоленская ТСК».
Андрей Кулаев награжден Почетной грамотой ОАО «Смоленскэнерго» и Почетной грамотой ОАО «Квадра».